地下水动力学是地下水科学与工程、水文与水资源工程、地质工程等专业本科生的一门基础理论课。其先修课程有高等数学、普通地质学、水文地质学基础、水力学等。它是地下水科学或水文地质学工作者必要的知识储备，也是地下水数值模拟的理论基础。课程主要讲述了地下水运动的基本原理以及计算方法。该课程的特点是用到的数学知识多，理论性强，并且具有鲜明的实际应用背景。

笔者仔细翻阅了《地下水动力学》[1，2]以及《高等数学》[3]等教材，并结合多年授课经验，梳理了课程中主要的数学知识点。其中也涉及笔者对一些基本概念的理解，有不当之处，恳请读者给予指正。

一、基本方法

与高等数学纯数学相比，作为专业课，多了实际背景。差别首先体现在变量符号的使用上。数学里通常用y 表示因变量，x 表示自变量。而在地下水动力学课程中，各物理量均有实际的物理意义，x，y，z 用来表示空间自变量，t 表示时间自变量，H，p，v 分别表示地下水水头、压力、渗流速度（来源于相应英文单词首字母），它们是时空变量的函数，如H(x，y，z，t)。各物理量所用符号一般与国内或国际惯例一致。这也方便了后期深入研究以及学习外文著作。

（一）极限与导数

1.极限。为了宏观上研究地下水，提出渗流理论，引入了典型单元体（或典型体元，REV）的概念，假想水流充满整个空间，不考虑岩土颗粒的存在，使得孔隙度（n）、水头（H）、水压（p）以及渗流速度（v）等在任意点P(x,y,z)处都有恒定的值，并且空间上具有连续性。典型单元体是使取样平均性质稳定的最小体积，在宏观上其值很小，可以想象其包含有限颗粒（如1000 个）。如任意P 点孔隙度定义为

含义即为在含水层中以P 点为中心，取样体积逐渐减小至典型单元体时，计算的孔隙体积与土样体积的比值。

2.求导运算。课程中涉及的求导公式一般为简单的四则运算，如地下水的状态方程中：

推导承压水运动的基本微分方程时，有

（二）定积分与不定积分

求解微分方程时会用到定积分或不定积分，以下举几个简单的例子。

1.地下水状态方程推导过程中，对微分方程：

分离变量后，根据边界条件，初始压强由p0变为p，体积由V0变为V，取定积分：

是积分上限函数，根据Newton-Leibniz 公式可求解，F(x)为f(t)的原函数。

2.在计算P 点的水头（H）、水压（p）以及流速（v）时，用到了典型单元体内积分取平均的方法，对于微积分不少学生头疼，需要向学生传达积分即离散求和的思想，以便于理解。

（三）近似计算

作为应用学科，出于实际应用方便，在保证精度的前提下，课程中使用了很多近似公式进行简化计算。

1.Taylor 级数展开近似。根据Taylor 级数展开取近似的应用最为普遍。如地下水状态方程的推导中：

由于β(p-p0)数值很小，根据ex的Taylor 级数展开公式：

忽略高阶项后，得到：

在保证精度的前提下，大大方便了运用。另外，在推导连续性方程时，也应用了Taylor 级数展开：

忽略了二阶导数以上的高次项，将公式进行了简化。

2.其他近似。

（1）多孔介质的压缩中：

由于骨架本身的压缩性比空隙的压缩性小很多，有(1-n)αs<<αp，于是

（2）有效应力公式推导中，由于颗粒与颗粒间实际接触面积非常小，即λ<<1，于是

（3）含水层压缩过程中，认为固体颗粒体积的压缩可以忽略不计：

并且含水层压缩时侧向受限，忽略水平方向上的变化，只有垂直方向的压缩：

（4）推导承压水运动的基本微分方程时，因为水的压缩性很小，1-βp≈1。另外，微分方程

左端第二项相对第一项小得多，因而可以忽略不计。大大简化了公式。

（5）河渠间地下水的非稳定运动中，为了将Boussinesq 方程线性化，将微分方程变形，当潜水流厚度变化不大时，用平均值hm近似代替h，得到

（6）Dupuit 公式应用中，对于巨厚含水层中的潜水井，含水层很厚而降深相对较小时，潜水含水层可近似地按承压含水层处理：

（7）Theis 公式的简化，当u≤0.01 或u≤0.05 时，井函数可用级数前两项代替，得到Jacob 公式

二、基本理论

（一）特殊函数

文章来源：《水动力学研究与进展》 网址: http://www.sdlxyjyjzzz.cn/qikandaodu/2021/0126/473.html

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